Question

6．已知直线y=x+2与椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）存在公共点．
（1）求a的取值范围；
（2）求当a最小时椭圆Γ的方程；
（3）在（2）的条件下，若A，B是椭圆Γ上关于y轴对称的两点，Q是椭圆Γ上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，m），N（0，n），试判断mn是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将y=x+2代入椭圆方程，$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，由△≥0，即可求得a的取值范围；
（2）由（1）可知，$a≥\sqrt{3}$，当a=$\sqrt{3}$时，椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（3）由题意可知：k_QA=k_QM，$\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}=\frac{{{y_0}-m}}{x_0}$，求得m和n的表达式，$mn=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{x_0}-{x_1}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{x_0}+{x_1}}}=\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}$，由A和Q在椭圆上，将A和Q点坐标代入椭圆上，求得$y_0^2=1-\frac{x_0^2}{3}$，$y_1^2=1-\frac{x_1^2}{3}$，代入即可求得mn=1，可判断mn是否为定值．

解答 解：（1）将y=x+2代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$，
得（a²+1）x²+4a²x+3a²=0，
∵直线y=x+2与椭圆有公共点，△=16a⁴-4（a²+1）×3a²≥0，得a²≥3，
∴$a≥\sqrt{3}$．
（2）椭圆的方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（3）设A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），Q（x₀，y₀），且M（0，m），N（0，n），
∵k_QA=k_QM，
∴$\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}=\frac{{{y_0}-m}}{x_0}$，即${y_0}-m=\frac{{{x_0}（{y_0}-{y_1}）}}{{{x_0}-{x_1}}}$，
∴m=y₀-$\frac{{{x_0}（{y_0}-{y_1}）}}{{{x_0}-{x_1}}}$=$\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{x_0}-{x_1}}}$．同理可得n=$\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{x_0}+{x_1}}}$．
∴$mn=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{x_0}-{x_1}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{x_0}+{x_1}}}=\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}$，
又$\frac{{{x_0}^2}}{3}+y_0^2=1$，$\frac{{{x_1}^2}}{3}+y_1^2=1$，
∴$y_0^2=1-\frac{x_0^2}{3}$，$y_1^2=1-\frac{x_1^2}{3}$，
∴$mn=\frac{{{x_0}^2（1-\frac{x_1^2}{3}）-{x_1}^2（1-\frac{x_0^2}{3}）}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}=\frac{{{x_0}^2-{x_1}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}=1$，
则mn为定值1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．