Question

2．已知函数f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数a与b，恒有ln$\frac{a}{b}$≥1-$\frac{b}{a}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（3）要证原不等式成立，即为ln$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$-1≥0，而f（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，设t=x+1，可得F（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，求出导数，单调区间可得极小值且为最小值，再将t换为$\frac{a}{b}$，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$（x＞-1），
可得导数为f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞0；由f′（x）＜0，可得-1＜x＜0．
即有f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）；
（2）由f（x）的导数f′（x）=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$，
可得在点（1，ln2-$\frac{1}{2}$）处的切线的斜率为$\frac{1}{4}$，
即有切线的方程为y-（ln2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$（x-1），
即为x-4y+4ln2-3=0；
（3）证明：要证ln$\frac{a}{b}$≥1-$\frac{b}{a}$，等价为ln$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$-1≥0，
而f（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1，
设t=x+1，可得F（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，F′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$，
可得F（t）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
即有F（t）在t=1处取得最小值，且为F（1）=0，
故F（t）≥F（1）=0，即F（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1≥0，
将t换为$\frac{a}{b}$，即可得证．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．