Question

20．已知函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，当x≥0时，f（x）=log₂x，若f（a）＞f（-a）+2，则a的取值范围是（-1，0）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得当x＜0时，f（x）=2-log₂（-x），然后分a＞0和a＜0两种情况分别求出a的范围，最后求其并集即可得解．

解答 解：∵x≥0时，f（x）=log₂x，函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，
∴当x＜0时，f（x）=2-log₂（-x），
当a＞0时，log₂a＞2-log₂a+2，可得：log₂a＞2，解得：a＞4，
当a＜0时，2-log₂（-a）＞log₂（-a）+2，即：log₂（-a）＜0=log₂1，可得：0＜-a＜1，
当a=0时，f（0）=log₂0无意义，
综上，可得：a∈（-1，0）∪（4，+∞）．
故答案为：（-1，0）∪（4，+∞）．

点评 本题通过不等式的求解考查了对数函数的图象和性质，同时考查了转化思想和分类讨论思想以及学生的基本运算能力，是高考热点内容，属于中档题．