Question

4．如图，在直二面角E-AB-C中，四边形ABEF是矩形，AB=2，AF=2$\sqrt{3}$，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF=3．
（Ⅰ）证明：BF⊥面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-BC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥BF，从而AC⊥平面ABEF，进而AC⊥BF，由此能证明BF⊥平面PAC．
（Ⅱ）以A为原点，$\overrightarrow{AB}$方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-P的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由题意知：FB=4，$cos∠PFA=cos∠BFA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$PA=\sqrt{P{F^2}+F{A^2}-2PF•FA•cos∠PFA}=\sqrt{3}$．
∵PA²+PF²=3+9=12=AF²，∴PA⊥BF．
∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，AB⊥AC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面ABEF．
∵BF?平面ABEF，∴AC⊥BF．
∵PA∩AC=A，∴BF⊥平面PAC．…（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB、AC、AF两两互相垂直，
以A为原点，$\overrightarrow{AB}$方向为x轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），$F（0，0，2\sqrt{3}）$．
∵BF=4，PF=3，∴$P（\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{CB}=（2，-2，0）$，$\overrightarrow{CP=}（\frac{3}{2}，-2，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面PBC的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CP}=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}2x-2y=0\\ \frac{3}{2}x-2y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\end{array}\right.$，取y=1得平面PBC的一个法向量$\overrightarrow n=（1，1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
又平面ABC的一个法向量$\overrightarrow m=（0，0，1）$，
设二面角A-BC-P的平面角为θ，由题中条件可知$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
则$cosθ=|\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow m|}|=\frac{{0+0+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}×1}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，
∴二面角A-BC-P的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．