Question

18．函数f（x）=（x²-3）e^x，当m在R上变化时，设关于x的方程f²（x）-mf（x）-$\frac{12}{e^2}$=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（　　）

• A． 3
• B． 1或3
• C． 3或5
• D． 1或3或5

Answer 1

分析 求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t²-mt-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．

解答 解：函数f（x）=（x²-3）e^x的导数为f′（x）=（x+3）（x-1）e^x，
当x＞1或x＜-3时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=1处取得极小值-2e；在x=-3处取得极大值6e^-3，
作出f（x）的图象，如图所示；
关于x的方程f²（x）-mf（x）-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，
由判别式为m²+$\frac{48}{{e}^{2}}$＞0，方程有两个不等实根，
令t=f（x），则t²-mt-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，t₁t₂=-$\frac{12}{{e}^{2}}$＜0，
则原方程有一正一负实根．
当t＞6e^-3，y=t和y=f（x）有一个交点，
当0＜t＜6e^-3，y=t和y=f（x）有三个交点，
当-2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，
当t＜-2e时，y=t和y=f（x）没有交点，
则x的方程f²（x）-mf（x）-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0的实根个数为3．
故选：A．

点评 本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，注意运用二次方程的判别式和韦达定理，考查数形结合的思想方法，是综合性题目．