Question

已知函数．

（1）如果a＞0，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；

（2）当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：

实际问题中导数的意义；函数在某点取得极值的条件．

专题：

压轴题；导数的综合应用．

分析：

（1）因为，x＞0，x＞0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．

（2）不等式，即为，构造函数，利用导数知识能求出实数k的取值范围．

解答：

解：（1）因为，x＞0，则，（1分）

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；

当x＞1时，f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．

因为函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，

所以解得．

（2）不等式，即为，记，

所以=

令h（x）=x﹣lnx，

则，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，

从而g'（x）＞0，

故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，

所以k≤2．

点评：

本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．