Question

15．已知函数$f（x）=1+2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$．
（Ⅰ）用五点法作图作出f（x）在x∈[0，π]的图象；
（2）求f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$的最大值和最小值；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）列表，描点，连线即可利用“五点作图法”画出函数y=f（x）在[0，π]上的图象．
（2）利用x的范围，可求$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，根据正弦函数的图象和性质即可得解其最值．
（3）由题意可得f（x）-2＜m＜f（x）+2，从而可得m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，由$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，求得f（x）的最值，即可解得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）列表如下：

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{3}$
y	1-$\sqrt{3}$	1	3	0	-1	1-$\sqrt{3}$

对应的图象如下：

（2）∵f（x）=$1+2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$．
又∵$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，
∴$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，即$2≤1+2sin（{2x-\frac{π}{3}}）≤3$，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．
（3）∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，
∴m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，要求熟练掌握五点作图法，属于中档题．