Question

7．已知函数f（x）=e^x+ae^-x的导函数f′（x）是偶函数，若|f（x）|≥mx，则m的取值范围是[-2，2]．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数的奇偶性求出a的值，求函数的导数，判断函数导数的最小值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=e^x-ae^-x，
∵f′（x）是偶函数，
∴f′（-x）=f′（x），
即e^-x-ae^x=e^x-ae^-x，
即e^x-e^-x=-a（e^x-e^-x），
则-a=1，a=-1，
即函数f（x）=e^x-e^-x，
f′（x）=e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，当且仅当e^x=e^-x，即x=0时取等号，
即当x≥0时，函数f（x）为增函数，且过原点的切线斜率最小为2，
要使|f（x）|≥mx，则-2≤m≤2，
故答案为：[-2，2]

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用函数的导数是偶函数，求出a的值，利用数形结合是解决本题的关键．