Question

7．过点P（$\frac{1}{2}$，1）的直线l与圆C：（x-1）²+y²=4交于A，B两点，当∠ACB最小时，三角形ACB的面积为$\frac{\sqrt{55}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可知当直线AB与PC垂直时，AB最短，则∠ACB最小，求出弦心距，进一步求出弦长，代入三角形面积公式求解．

解答 解：如图，
当直线AB与PC垂直时，AB最短，则∠ACB最小，
|PC|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-1）^{2}+（1-0）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
|AB|=$2\sqrt{4-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}=\sqrt{11}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{11}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{55}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{55}}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，是基础题．