Question

9．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值为$-\frac{5}{7}$，求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

分析 （1）取BC中点M，连接B₁M，证明B₁M⊥AC，AC⊥BC，AC⊥平面B₁C₁CB，然后证明平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设B₁M=t，求出相关点的坐标，求出平面AB₁B法向量，平面AB₁C₁法向量，利用二面角B-AB₁-C₁的余弦值为$-\frac{5}{7}$，
转化求解斜三棱柱的高即可．

解答 解：（1）取BC中点M，连接B₁M，则B₁M⊥平面ACB，
∴B₁M⊥AC
又AC⊥BC，且B₁M∩BC=M，∴AC⊥平面B₁C₁CB
因为AC?平面ACC₁A₁，所以平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，
建立空间直角坐标系CA=BC=2，设B₁M=t，则A（2，0，0），
B（0，2，0），M（0，1，0），B₁（0，1，t），C₁（0，-1，t）
即$\overrightarrow{A{B_1}}=（-2，1，t），\overrightarrow{AB}=（-2，2，0），\overrightarrow{{B_1}{C_1}}=（0，-2，0）$
设面AB₁B法向量$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{A{B_1}}=-2x+y+tz=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=-2x+2y=0\end{array}\right.∴\overrightarrow{n_1}=（1，1，\frac{1}{t}）$，
同理面AB₁C₁法向量$\overrightarrow{n_2}=（\frac{t}{2}，0，1）$
因为二面角B-AB₁-C₁的余弦值为$-\frac{5}{7}$，
∴$|{cos\left?{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}\right＞}|=\frac{{|{\frac{t}{2}+\frac{1}{t}}|}}{{\sqrt{2+\frac{1}{t^2}}\sqrt{\frac{t^2}{4}+1}}}=\frac{5}{7}$，
∴t⁴+29t²-96=0
∴t²=3，
所以斜三棱柱的高为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．