Question

3．已知函数f（x）=e^x（e=2.71828…是自然对数的底数），若a＜b，则$\frac{f（a）+f（b）}{2}$与$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$的大小关系是（　　）

• A． $\frac{f（a）+f（b）}{2}$＞$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$
• B． $\frac{f（a）+f（b）}{2}$=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$
• C． $\frac{f（a）+f（b）}{2}$＜$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$
• D． 无法确定

Answer 1

分析 作差，构造函数g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用导数研究其单调性即可比较大小．

解答 解：$\frac{f（a）+f（b）}{2}$-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{（b-a+2）+（b-a-2{）e}^{b-a}}{2（b-a）}$e^a，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x，
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴$\frac{（b-a+2）+（b-a-2{）e}^{b-a}}{2（b-a）}$e^a＞0，
即当a＜b时，$\frac{f（a）+f（b）}{2}$＞$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，
故选：A．

点评 本题考查了比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．