Question

已知函数g（x）=

10x-1

10x+1

，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；
（2）（理科）设h（x）=

1

x

-f（x），若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（-1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且-1＜t＜-

1

2

．
（文科）设函数h（x）=

1

x

-f（x），试判断函数y=h（x）在区间（-1，0）上的单调性，并说明你的理由．

Answer 1

考点：反函数,函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由已知的等式求得10^x=

1+y

1-y

，然后化指数式为对数式，x，y互换后得答案，同时注明函数的定义域为原函数的值域；
（2）（理）把h（x）=

1

x

-f（x）求导数，由导函数在（-1，0）上恒小于0说明函数为减函数，再由函数零点存在性定理证得答案；
（文）直接利用函数的导函数小于0说明函数的单调性．

解答： （1）解：由y=

10x-1

10x+1

，（x∈R），得10^x=

1+y

1-y

，
x=lg

1+y

1-y

，
∴f（x）=lg

1+x

1-x

（-1＜x＜1）；

（2）证明：（理科）h（x）=

1

x

-f（x）=

1

x

-lg

1+x

1-x

，
h′(x)=-

1

x2

-

1-x

1+x

•(

1+x

1-x

)′=-

1

x2

-

1-x

1+x

•

1-x+1-x

(1-x)2

=-

1

x2

-

2

1-x2

=

-1+x2-2x2

x2(1-x2)

=

-1-x2

x2(1-x2)

＜0，
∴h（x）在（-1，0）上为减函数，
又当x→-1时，h（x）＞0；h（-

1

2

）=-2-lg

1- 1 2

1+ 1 2

=-2-lg

1

3

=-2+lg3＜0．
∴函数y=h（x）在区间（-1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且-1＜t＜-

1

2

；

（文）h（x）=

1

x

-f（x）=

1

x

-lg

1+x

1-x

，
h′(x)=-

1

x2

-

1-x

1+x

•(

1+x

1-x

)′=-

1

x2

-

1-x

1+x

•

1-x+1-x

(1-x)2

=-

1

x2

-

2

1-x2

=

-1+x2-2x2

x2(1-x2)

=

-1-x2

x2(1-x2)

＜0，
∴h（x）在（-1，0）上为减函数．

点评：本题考查了函数的反函数的求法，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数零点存在性定理，是中档题．