题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c＞0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为θ的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线 $数学公式$ （称为椭圆的右准线）于P，Q两点．
（1）若当θ=30°时有 $数学公式$ ，求椭圆的离心率；
（2）若离心率e= $数学公式$ ，求证： $数学公式$ 为定值．

解：（1）如图，作MM₁，NN₁垂直准线于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，
设|NF|=m，则|FM|=3m，根据椭圆的第二定义有：
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
在Rt△NMH中，∠NMH=30°，
∴ $\text{[math]}$ =cos30°，

解得e= $\text{[math]}$ ．
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
则椭圆方程化为：x²+2y²-2c²=0，
准线：x= $\text{[math]}$ ，
设MN的方程为x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），
由A，M，P三点共线，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
由A，N，Q三点共线，得Q（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，①
把x=ty+c代入x²+2y²-2c²=0，得（2+t²）y²+2cty-c²=0，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，②
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．③
∵a= $\text{[math]}$ ，
∴将②③代入①，整理得 $\text{[math]}$ =0．
分析：（1）作MM₁，NN₁垂直准线于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，设|NF|=m，则|FM|=3m，根据椭圆的第二定义有： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，在Rt△NMH中，∠NMH=30°，由此能求出e．
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则椭圆方程化为：x²+2y²-2c²=0，准线：x= $\text{[math]}$ ，设MN的方程为x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），由A，M，P三点共线，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由A，N，Q三点共线，得Q（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，由此能够证明 $\text{[math]}$ 为定值．
点评：本题考查椭圆方程的求法和向量数量积为定值的证明，具体涉及到椭圆的简单性质，根与系数的关系，椭圆的离心率等基本知识的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．