Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，（1）a，b，c成等差；（2）a，b，c成等比；（3）a²，b²，c²成等差．上述三个条件中是“B∈（0，

π

3

]”的充分条件的有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：等差数列与等比数列,解三角形,简易逻辑

分析：根据等比数列和等差数列的性质以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

解答： 解：（1）若a，b，c成等差，则b=

a+c

2

，
∴cos B=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3 4 (a2+c2)- 1 2 ac

2ac

≥

3 4 •2ac- 1 2 ac

2ac

=

1

2

，
当且仅当a=c时，“=”成立，又∵B∈（0，π），∴B∈（0，

π

3

]．
（2）若a，b，c成等比，则b=

ac

，
∴cos B=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( ac )2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，当且仅当a=c时，“=”成立，
又∵B∈（0，π），∴B∈（0，

π

3

]．
（3）若a²，b²，c²成等差，则b²=

a2+c2

2

，
∴cos B=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2- a2+c2 2

2ac

=

1 2 (a2+c2)

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，当且仅当a=c时，“=”成立，
又∵B∈（0，π），∴B∈（0，

π

3

]．
故正确的有三个．
故选：D．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及等差数列和等比数列的应用，结合余弦定理是解决本题的关键．综合性较强．