Question

1．已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于$\sqrt{2}$，△ABD的面积等于$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 直接利用已知结合切割弦定理求得CD；求解直角三角形求得sin∠DOB，然后代入三角形面积公式求得△ABD的面积．

解答 解：如图，∵AB=1，BC=1，
∴AC=2，
由切割弦定理可得：CD²=BC•AC=1×2=2，
∴$CD=\sqrt{2}$．
连接OD，则OD⊥CD，
在Rt△ODC中，由CD=$\sqrt{2}$，OC=$\frac{3}{2}$，得sin∠DOC=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}OB•OD•sin∠DOB+\frac{1}{2}OA•OD•sin∠DOA$
=$2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故答案为：$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，训练了切割弦定理的应用，考查了利用正弦定理求三角形的面积，是中档题．