Question

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AO|=|AF|=$\frac{3}{2}$；
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点A在C上，|AO|=|AF|=$\frac{3}{2}$，可得$\frac{p}{4}+\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，求出p，即可求C的方程；
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+b，代入抛物线方程，可得x²-4kx-4b=0，利用线段PQ的中点的纵坐标为1，得2k²+b=1，表示出面积，利用导数方法求最值．

解答 解：（Ⅰ）∵点A在C上，|AO|=|AF|=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{p}{4}+\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴p=2，
∴C的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设直线方程为y=kx+b，代入抛物线方程，可得x²-4kx-4b=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，∴y₁+y₂=4k²+2b，
∵线段PQ的中点的纵坐标为1，∴2k²+b=1，
△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}•b•\sqrt{16{k}^{2}+16b}$=b$\sqrt{2+2b}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{b}^{3}+{b}^{2}}$（0＜b≤1），
设y=b³+b²，y′=3b²+2b＞0，函数单调递增，∴b=1时，△OPQ的面积的最大值为2．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．