Question

定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如右下图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形面积为S（x），则函数S（x）的导函数S'（x）的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先分析出函数S（x）的表达式为S△ABC=

1

2

×AB×h，其中AB为定值，h为点C到AB的距离，再利用h在区间[0，a]上的变化情况，得出函数S（x）的增减变化，即可得到其导函数S′（x）的图象．

解答：解：如图，连接AB，BC，AC
设点C到AB的距离为h，则△ABC的面积S△ABC=

1

2

×AB×h，其中AB为定值
当点C沿着曲线从A运动到B，h是连续变化，这样S（x）也是连续变化，所以面积函数S（x）肯定在[0，a]上可导，且其导数是连续的．从而排除B和D；
当x∈（0，m]时，点C从点A出发，距离h越来越大，故S（x）递增，所以S'（x）＞0；
当x∈（m，n]时，距离h越来越小，故S（x）递减，所以S'（x）＜0；
当x∈（n，e]时，距离h越来越大，故S（x）递增，所以S'（x）＞0；
当x∈（e，a]时，距离h越来越小，故S（x）递减，所以S'（x）＜0．
故选C

点评：本题主要考查导函数与原函数单调性之间的关系．