题目内容

椭圆 $数学公式$ ，点M在椭圆上， $数学公式$ 等于-2，则△F₁MF₂的面积等于

A.
1
B.
$数学公式$
C.
2
D.
$数学公式$

D
分析：根据椭圆方程，算出椭圆的焦点为 $\text{[math]}$ ，从而得到向量 $\text{[math]}$ 的坐标．设点M坐标为（m，n），根据 $\text{[math]}$ =-2建立关于m、n的一个方程，由点M在椭圆上得到关于m、n的另一个方程，两个方程联解即可得到n=±1，由此结合椭圆的焦距|F₁F₂|=2 $\text{[math]}$ ，即可算出△F₁MF₂的面积的值．
解答：∵椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，
∴a²=4，b²=1，可得c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因此，椭圆的焦点为 $\text{[math]}$
设椭圆上的点M坐标为（m，n），可得 $\text{[math]}$ …①
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =-2
∴（- $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）+（-n）•（-n）=-2，化简得m²+n²=1…②
联解①②，得m²=0且n²=1，可得M（0，±1）
∴△F₁MF₂的面积等于S= $\text{[math]}$ •|F₁F₂|•|n|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$
故选：D
点评：本题给出椭圆上一点M，在已知数量积 $\text{[math]}$ =-2的情况下求△F₁MF₂的面积，着重考查了平面向量的数量积公式、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识点，属于中档题．