题目内容
9．已知斜率为k的直线l经过点A（0，2），圆C：（x-2）2+（y-3）2=1，直线1与圆C相交于M．N两点．（1）证明：$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$为定值；
（2）若$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AN}$，求实数λ的取值范围．
分析 （1）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+2，代入圆C的方程化简，再利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2 和x1•x2 的值，可得y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）的值，利用$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=x1•x2+y1•y2-2（y1+y2）+4，即可得出结论；
（2）$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AN}$，可得x1=λx2，$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+1}{（2k+1）^{2}}$，设t=2k+1（t＞$\frac{5}{2}$），$\frac{{k}^{2}+1}{（2k+1）^{2}}$=$\frac{5}{4}$（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{5}$）2-$\frac{1}{20}$∈[-$\frac{1}{20}$，0），可得$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}$∈[-$\frac{1}{20}$，0），即可求实数λ的取值范围．
解答 （1）证明：由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+2，代入圆C的方程（x-2）2+（y-3）2=1，
可得 （1+k2）x2-（4k+2）x+4=0，△＞0，可得k＞$\frac{3}{4}$
设M（x1，y1）；N（x2，y2），则x1+x2=$\frac{4k+2}{{k}^{2}+1}$，x1•x2=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
∴y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=$\frac{16{k}^{2}+4k+4}{{k}^{2}+1}$，y1+y2=$\frac{8{k}^{2}+2k+4}{{k}^{2}+1}$
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=x1•x2+y1•y2-2（y1+y2）+4=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$+$\frac{16{k}^{2}+4k+4}{{k}^{2}+1}$-2•$\frac{8{k}^{2}+2k+4}{{k}^{2}+1}$+4
=4为定值；
（2）解：∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AN}$，∴x1=λx2，
∴（1+λ）x2=$\frac{4k+2}{{k}^{2}+1}$，λx22=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}$=$\frac{{k}^{2}+1}{（2k+1）^{2}}$，
设t=2k+1（t＞$\frac{5}{2}$），$\frac{{k}^{2}+1}{（2k+1）^{2}}$=$\frac{5}{4}$（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{5}$）2-$\frac{1}{20}$∈[-$\frac{1}{20}$，0），
∴$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}$∈[-$\frac{1}{20}$，0），
∴-11-2$\sqrt{30}$≤λ＜0．
点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．
如图△ABC中，已知点D在BC边上，且AD⊥AC，sin∠BAC=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，AB=3$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{3}$．