Question

8．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列，{b_n}为等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，${S_3}=\frac{13}{3}$，q=3．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由a₁，a₂，a₅成等比数列列式求得d，则等差数列的通项公式可求；设数列{b_n}的首项为b₁，由${S_3}=\frac{13}{3}$，q=3，可得关于b₁的方程，求得b₁，则等比数列的通项公式可求；
（2）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=a_n•b_n，利用错误相减法求数列{c_n}的前项和T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由a₁，a₂，a₅成等比数列，得（1+d）²=1×（1+4d），
即d²=2d，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
设数列{b_n}的首项为b₁，由${S_3}=\frac{13}{3}$，q=3，
得${b}_{1}+3{b}_{1}+9{b}_{1}=13{b}_{1}=\frac{13}{3}$，∴b₁=3．
则${b}_{n}={3}^{n}$；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴${T}_{n}=1•{3}^{1}+3•{3}^{2}+…+（2n-3）•{3}^{n-1}+（2n-1）•{3}^{n}$，
则$3{T}_{n}=1•{3}^{2}+3•{3}^{3}+…+（2n-3）•{3}^{n}+（2n-1）•{3}^{n+1}$，
两式作差可得：$-2{T}_{n}=3+2（{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}）-（2n-1）•{3}^{n+1}$
=3+2$•\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-（2n-1）•{3}^{n+1}$，
则${T}_{n}=（n-1）•{3}^{n}+1$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．