Question

8．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若y=cos²$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$-1，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可将已知转化为2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，继而可求得cosA=$\frac{1}{2}$，从而可求得角A的大小；
（2）依题意，y=cos²$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$-1=$\frac{1}{2}$（cosB+cosC）=$\frac{1}{2}$[cosB+cos（$\frac{2π}{3}$-B）]=$\frac{1}{2}$sin（B+$\frac{π}{6}$），结合B的范围，即可得出结论．

解答 解：（1）由正弦定理可得：2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA，
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）y=cos²$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{C}{2}$-1=$\frac{1}{2}$（cosB+cosC）=$\frac{1}{2}$[cosB+cos（$\frac{2π}{3}$-B）]=$\frac{1}{2}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，∴y∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查解三角形，着重考查正弦定理的应用，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．