Question

15．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x-1）²+y²=4上不同三点，若存在正实数a，b，使$\overrightarrow{CT}$=a$\overrightarrow{CM}$+b$\overrightarrow{CN}$，则$\frac{{a}^{3}+a{b}^{2}+2ab+b+1}{a}$的取值范围为（2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意，圆的位置不影响向量的大小，可设$\overrightarrow{CT}$=（2cosθ，2sinθ），$\overrightarrow{CM}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{CN}$=（2cosβ，2sinβ），利用$\overrightarrow{CT}$=a$\overrightarrow{CM}$+b$\overrightarrow{CN}$，可得cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可35得a+b＞1，利用a³+ab²=a（a²+b²）=a[1-2abcos（α-β）]＞a（1-2ab），即可得出结论．

解答 解：由题意，圆的位置不影响向量的大小，
可设$\overrightarrow{CT}$=（2cosθ，2sinθ），$\overrightarrow{CM}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{CN}$=（2cosβ，2sinβ），
∵$\overrightarrow{CT}$=a$\overrightarrow{CM}$+b$\overrightarrow{CN}$，
∴cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，
平方相加，可得1=a²+b²+2abcos（α-β）＜（a+b）²，
∴a+b＞1，
∴a³+ab²=a（a²+b²）=a[1-2abcos（α-β）]＞a（1-2ab），
∴$\frac{{a}^{3}+a{b}^{2}+2ab+b+1}{a}$＞$\frac{a-2{a}^{2}b+2ab+b+1}{a}$＞$\frac{2}{a}$＞2，
∴$\frac{{a}^{3}+a{b}^{2}+2ab+b+1}{a}$的取值范围为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，有难度．