Question

（本题满分分）设数列的前项和为，已知，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对一切正整数，有.

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求数列的通项公式，由已知，即，这是已知与的关系，求，可用来解，本题也可以由，与，求出，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法证明；（2）证明：对一切正整数，有，由（1）知，，故，可用放缩法来证.

试题解析：（1）（解法一） 依题意，又，所以 （2分）

当，

，

两式相减得

整理得 ，即， （6分）

又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，

所以所以 （8分）

（解法二） ， ，得， （2分）

猜想 （3分）

下面用数学归纳法证明：

（1）当时，猜想成立；

（2）假设当时，猜想也成立，即 （4分）

当时，

=

， （5分）

时，猜想也成立 （6分）

由（1），（2）知，对于，猜想成立.

，当，也满足此式，故 （8分）

（2）证明：当； （9分）

当； （10分）

当， （12分）

此时

综上，对一切正整数n，有 （14分）

考点：等差数列的通项公式，裂项求和，放缩法证明不等式.