Question

17．已知：f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0恒成立．
（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数；
（Ⅱ）解不等式：$f（x+\frac{1}{2}）$＜f（1-x）；
（Ⅲ）若f（x）≤m²-2m+1对所有x∈[-1，1]恒成立，求：实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，由奇函数的性质化简f（x₂）-f（x₁），由$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$得$\frac{{f（{x_2}）+f（-{x_1}）}}{{{x_2}+（-{x_1}）}}＞0$，判断出符号后，由函数单调性的定义证明结论成立；
（Ⅱ）根据函数的单调性和定义域列出不等式，求出不等式的解集；
（Ⅲ）由函数的单调性求出f（x）的最大值，由恒成立列出不等式，求出实数m的取值范围．

解答 证明：（Ⅰ）设任意x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）
∵x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）≠0，
由题意知，$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}＞0$，则$\frac{{f（{x_2}）+f（-{x_1}）}}{{{x_2}+（-{x_1}）}}＞0$，
∵x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在[-1，1]上是增函数．…（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）和不等式$f（x+\frac{1}{2}）＜f（1-x）$得，
$\left\{\begin{array}{l}-1≤x+\frac{1}{2}≤1\\-1≤1-x≤1\\ x+\frac{1}{2}＜1-x\end{array}\right.$，解得$0≤x＜\frac{1}{4}$，
∴不等式的解集是[0，$\frac{1}{4}$）…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，f（x）最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）≤m²-2m+1对所有x∈[-1，1]，
只需1≤m²-2m+1恒成立，解得m≤0或m≥2，
得实数m的取值范围为m≤0或m≥2．…（14分）

点评 本题考查定义法证明抽象函数的单调性，奇函数的性质，以及恒成立问题转化为求最值，考查转化思想，化简、变形能力．