Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（λ，{λ^2}-{sin^2}α）$，$\overrightarrow b=（μ-1，μ+cosα）$，其中λ，μ，α为实数，且$\overrightarrow a=-2\overrightarrow b$，
（1）求μ的取值范围；
（2）求$\frac{λ^2}{μ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的坐标运算与向量相等，求出μ的表达式，再利用三角函数的恒等变换求出μ的取值范围；
（2）根据λ与μ的关系求出$\frac{{λ}^{2}}{μ}$的表达式，利用μ的取值范围和函数的单调性即可求出$\frac{{λ}^{2}}{μ}$的取值范围．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（λ，{λ^2}-{sin^2}α）$，$\overrightarrow b=（μ-1，μ+cosα）$，
∴-2$\overrightarrow{b}$=（-2μ+2，-2μ-2cosα）；
又$\overrightarrow a=-2\overrightarrow b$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=-2μ+2}\\{{λ}^{2}{-sin}^{2}α=-2μ-2cosα}\end{array}\right.$，
∴（-2μ+2）²-sin²α=-2μ-2cosα，
化简得4μ²-6μ+4=sin²α-2cosα；
设t=sin²α-2cosα，
则t=1-cos²α-2cosα=-（cosα+1）²+2；
由-1≤cosα≤1，求得-2≤t≤2；
∴-2≤4μ²-6μ+4≤2，
即-1≤2μ²-3μ+2≤1，
解得$\frac{1}{2}≤μ≤1$；
（2）∵λ=-2μ+2，
∴$\frac{{λ}^{2}}{μ}$=$\frac{{（-2μ+2）}^{2}}{μ}$=$\frac{{4μ}^{2}-8μ+4}{μ}$=4μ+$\frac{4}{μ}$-8，
又$\frac{1}{2}$≤μ≤1时，函数t=4μ+$\frac{4}{μ}$是单调减函数；
当u=$\frac{1}{2}$时，函数t=2+8=10为最大值，
当μ=1时，函数t=4+4=8为最小值；
所以8-8≤4μ+$\frac{4}{μ}$-8≤10-8，
即0≤$\frac{{λ}^{2}}{μ}$≤2．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与向量相等，以及三角函数的性质与应用问题，是综合性题目．