Question

4．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3a}+\frac{y}{4a}≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最小值为$\frac{3}{2}$，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据分式的意义将分式进行化简，结合斜率的意义，得到$\frac{y+1}{x+1}$的最小值是$\frac{1}{4}$，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$=$\frac{x+1+2（y+1）}{x+1}$=1+2•$\frac{y+1}{x+1}$，
若z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最小值为$\frac{3}{2}$，
即1+2•$\frac{y+1}{x+1}$的最小值为$\frac{3}{2}$，
由1+2•$\frac{y+1}{x+1}$=$\frac{3}{2}$，得$\frac{y+1}{x+1}$的最小值是$\frac{1}{4}$，
作出不等式组对应的平面区域，即$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是区域内的点P（x，y）到定点D（-1，-1）的斜率的最小值是$\frac{1}{4}$，
由图象知BD的斜率最小，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=a}\\{y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3a}\\{y=0}\end{array}\right.$，
即B（3a，0），
则$\frac{0+1}{3a+1}$=$\frac{1}{4}$，即3a+1=4，则3a=3，
则a=1，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合分式的性质以及直线斜率的定义，利用数形结合是解决本题的关键．