Question

19．方程2^x•x²=1的实数解的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 令f（x）=2^x•x²-1，求出f（x）的单调性和极值，根据极值的大小判断f（x）的零点个数．

解答 解：令f（x）=2^x•x²-1，则f′（x）=x•2^x（2+x•ln2），
令f′（x）=0得x=0或x=-$\frac{2}{ln2}$．
当x＜-$\frac{2}{ln2}$或x＞0时，f′（x）＞0，
当-$\frac{2}{ln2}$＜x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{ln2}$）上是增函数，在（-$\frac{2}{ln2}$，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
∴当x=-$\frac{2}{ln2}$时，f（x）取得极大值f（-$\frac{2}{ln2}$）=$\frac{4}{{e}^{2}l{n}^{2}2}$-1＞0，
当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=-1＜0，
∴f（x）有三个零点，即2^x•x²=1有3个根．
故选D．

点评 本题考查了函数单调性，极值与函数零点个数的关系，属于中档题．