Question

17．已知f（x）=x-2，g（x）=2x-5，则不等式|f（x）|+|g（x）|≤2的解集为[$\frac{5}{3}$，3]；|f（2x）|+|g（x）|的最小值为3．

Answer 1

分析 通过讨论x的范围，求出不等式|f（x）|+|g（x）|≤2的解集即可；根据绝对值的性质求出|f（2x）|+|g（x）|的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=x-2，g（x）=2x-5，
∴|f（x）|+|g（x）|≤2，
即|x-2|+|2x-5|≤2，
x≥$\frac{5}{2}$时，x-2+2x-5≤2，解得：$\frac{5}{2}$≤x≤3，
2＜x＜$\frac{5}{2}$时，x-2+5-2x≤2，解得：x≥1，
x≤2时，2-x+5-2x≤2，解得：x≥$\frac{5}{3}$，
综上，不等式的解集是[$\frac{5}{3}$，3]；
|f（2x）|+|g（x）|=|2x-2|+|2x-5|≥|2x-2-2x+5|=3，
故|f（2x）|+|g（x）|的最小值是3，
故答案为：[$\frac{5}{3}$，3]，3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．