Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1过点M（2，0），N（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）直线y=kx（k∈R，k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D点为椭圆C上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB的方程：若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=2，b=1，求得c，即可求得椭圆方程方程及离心率；
（2）代入椭圆方程，求得丨AB丨，同理求得|OD|，S_△ABD=2S_△OAD=|OA|×|OD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$，根据基本不等式的性质，即可求得直线AB的方程及问△ABD的面积是否存在最小值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1过点A（2，0），B（0，1）两点，
∴a=2，b=1，则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）D在AB的垂直平分线上，∴OD：y=$\frac{1}{k}$x．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得（1+4k²）x²=4，
|AB|=2|OA|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{4{k}^{2}+1}}$，…（6分）
同理可得|OD|=2$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}+4}}$，…（7分）
则S_△ABD=2S_△OAD=|OA|×|OD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$，．…（8分）
由于$\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≤$\frac{5（1+{k}^{2}）}{2}$，…（10分）
∴S_△ABD=2S_△OAD≥$\frac{8}{5}$，
当且仅当1+4k²=k²+4，即k=±1时取等号．
∴△ABD的面积取最小值$\frac{8}{5}$，
直线AB的方程为y=±x．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．