Question

6．已知α，β为锐角，且sinα-sinβ=-$\frac{1}{2}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，则tan（α-β）=-$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 利用已知条件求出cos（α-β）的值，然后求出sin（α-β），即可求解结果．

解答 解：∵α，β为锐角，且sinα-sinβ=-$\frac{1}{2}$，cosα-cosβ=$\frac{1}{2}$，
∴sin²α+cos²α-2sinαsinβ+cos²β+sin²β-2cosαcosβ=$\frac{1}{2}$，
即 2-2cos（α-β）=$\frac{1}{2}$，∴cos（α-β）=$\frac{3}{4}$，
∵sinα＜sinβ，∴0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{2}$＜α-β＜0，sin（α-β）=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=-$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围是解题的关键，属于基础题．