Question

13．已知小矩形花坛ABCD中，AB=3m，AD=2m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32m²，AN的长应在什么范围内？
（2）M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM．

Answer 1

分析 （1）由题如图，可先设出所求的量；AM=x，AN=y（x＞3，y＞2），再由矩形的面积公式建立关系式，另由图可发现；△NDC∽△NAM，则可找到长与宽的关系式，从而建立关于AN=y，的二次不等式，求解可得AN的取值范围；
（2）由题为建设后矩形面积的最小值，可由（1）得出的函数关系式$S=\frac{{3{y^2}}}{y-2}（y＞2）$，进行代数变形利用均值不等式（注意条件，正，定，相等）可求出相应的最小值．

解答 解：（1）设AM=x，AN=y（x＞3，y＞2），矩形AMPN的面积为S，则S=xy．
∵△NDC∽△NAM，∴$\frac{y-2}{y}=\frac{3}{x}$，∴x=$\frac{3y}{y-2}$，
∴$S=\frac{{3{y^2}}}{y-2}（y＞2）$．
由$\frac{3{y}^{2}}{y-2}$＞32，得2＜y＜$\frac{8}{3}$，或y＞8，
∴AN的长度应在（2，$\frac{8}{3}$）或（8，+∞）内．
（2）当y＞2时，S=$\frac{3{y}^{2}}{y-2}$=3（y-2+$\frac{4}{y-2}$+4）≥3×（4+4）=24，
当且仅当y-2=$\frac{4}{y-2}$，即y=4时，等号成立，解得x=6．
∴存在M，N点，当AM=6，AN=4时，S_min=24．

点评 考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用基本不等式求最值的能力，属于中档题．