Question

一只蚂蚁在边长分别为5，6，

13

的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为

 

．

Answer 1

分析：先画示意图，在△ABC中利用用余弦定理得三角形的内角B的余弦值进而求得三角形的面积，再求出图中阴影部分的面积，最后利用几何概型即可救是本题中蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．

解答：解：画示意图，在△ABC中用余弦定理得cosB=

4

5

，
则sinB=

3

5

，S△ABC=

1

2

•5•6•

3

5

=9，
图中阴影部分的面积为三角形ABC的面积减去半径为1的半圆的面积即为9-

π

2

，
则本题中蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=

9- π 2

9

=1-

π

18

．
故答案为：1-

π

18

．

点评：本题主要考查了余弦定理、几何概型的应用；简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．