Question

8．设F₁，F₂为双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的左，右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点，若$\overrightarrow{P{F_2}}$=2$\overrightarrow{{F_2}Q}$，且$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{17}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{P{F_2}}$=2$\overrightarrow{{F_2}Q}$，且$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，结合直角三角形的性质，建立三角形的边角关系，利用双曲线的定义得到关于a，c的方程进行求解即可．

解答 解：∵若$\overrightarrow{P{F_2}}$=2$\overrightarrow{{F_2}Q}$，
∴|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=2|$\overrightarrow{{F_2}Q}$|，
∵$\overrightarrow{{F_1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，∴$\overrightarrow{{F_1}Q}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，
即∠F₁QF₂为直角，
则设|$\overrightarrow{P{F_2}}$|=2m，|$\overrightarrow{{F_2}Q}$|=m，
则|F₁F₂|=2c，
则|F₁Q|=$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}}$，|F₁P|=$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}+9{m}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}+8{m}^{2}}$，
则|F₁Q|-|F₂Q|=$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}}$-m=2a，①
|F₁P|-|F₂P|$\sqrt{4{c}^{2}+8{m}^{2}}$-2m=2a，②，
则$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}}$-m=$\sqrt{4{c}^{2}+8{m}^{2}}$-2m，
即$\sqrt{4{c}^{2}-{m}^{2}}$+m=$\sqrt{4{c}^{2}+8{m}^{2}}$，
平方整理得17m²=4c²，
则m²=$\frac{4{c}^{2}}{17}$，m=$\frac{2c}{\sqrt{17}}$，代回①得$\sqrt{4{c}^{2}-\frac{4{c}^{2}}{17}}$-$\frac{2c}{\sqrt{17}}$=2a，
即$\frac{8c}{\sqrt{17}}$-$\frac{2c}{\sqrt{17}}$=$\frac{6c}{\sqrt{17}}$=2a，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{17}}}{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的边角关系建立方程组，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．