Question

6．已知a＞0，b＞0且实数x、y满足条件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≤0\\ x-2y+1≥0\end{array}$．若ax+by的最大值为4，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为1．

Answer 1

分析 由线性约束条件求出最优解，代入线性目标函数得到a+b=1，然后利用（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）展开整理，最后利用基本不等式求最小值．

解答 解：画出满足条件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≤0\\ x-2y+1≥0\end{array}$的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得：A（1，1），
显然直线z=ax+by过A（1，1）时z取到最大值4，
此时：a+b=4，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$）=1，
当且仅当a=b=2时“=”成立，
故答案为：1．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．