Question

5．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知CA⊥CB，CA=CB=1，AA₁=2，且棱AA₁和A₁B₁的中点分别是M，N．
（1）求BM的长；
（2）求直线A₁B和直线B₁C夹角的余弦值；
（3）求证：直线A₁B⊥直线C₁N．

Answer 1

分析 （1）以C为原点建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{BM}$的坐标，则BM=|$\overrightarrow{BM}$|；
（2）计算$\overrightarrow{{A}_{1}B}$和$\overrightarrow{{B}_{1}C}$的坐标，计算cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞即可得出直线A₁B和直线B₁C夹角的余弦值；
（3）通过计算得出$\overrightarrow{{C}_{1}N}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=0，从而得出直线A₁B⊥直线C₁N．

解答 解：（1）以C为原点，以CA，CB，CC₁为坐标轴建立空间直角坐标系C-xyz，
则M（1，0，1），B（0，1，0），∴$\overrightarrow{BM}$=（1，-1，1）．
∴BM=|$\overrightarrow{BM}$|=$\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，-1，-2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{B}_{1}C}$=-1+4=3，|$\overrightarrow{{A}_{1}B}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{{B}_{1}C}$|=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴直线A₁B和直线B₁C夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
（3）证明：∵A₁（1，0，2），B₁（0，1，2），N是A₁B₁的中点，
∴N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{{C}_{1}N}$=-1×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{2}$-2×0=0，
∴直线A₁B⊥直线C₁N．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，选取合理的坐标系求出各对应向量的坐标是解题关键，属于中档题．