Question

某校为解决教师后顾之忧，拟在一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如右图中矩形ABCD的教师公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米
（Ⅰ）要使矩形教师公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
（Ⅱ）长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形教师公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？

Answer 1

分析：（1）首先利用三角形的相似性，求得边AD与边AB的长度关系，建立三角形面积函数模型，再由s≥144，得出边AB的长度范围；（2）由二次函数求最值求得．

解答：解：（1）依题意设AD=t则

20-t

20

=

x

30

，
∴t=20-

2

3

x所以s=（20-

2

3

x）x，
又∵s≥144，
∴x²-30x+216≤0，解得12≤x≤18，
要使教师公寓ABCD的面积不小于144平方米，
即12≤x≤18，即AB的长度应在[12，18]内（6分）

（Ⅱ）s=（20-

2

3

x）x=-

2

3

(x-15)2 +150．
答：AB=15米，AD=10米时，教师公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米（12分）

点评：本题主要考查建立函数模型和解模的问题．