Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{{5\sqrt{30}}}{2}$，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=-15，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 根据$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=-15$及$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{10}$即可求出$|\overrightarrow{b}|$的值，再根据$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{5\sqrt{30}}{2}$即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$=$10-|\overrightarrow{b}{|}^{2}=-15$；
∴$|\overrightarrow{b}|=5$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$5\sqrt{10}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{5\sqrt{30}}{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$．
故答案为：$\frac{5π}{6}$．

点评 考查数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角．