Question

已知（x²-

1

5 x3

）⁵的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-2k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  4

  ]
• B、[0，

  1

  4

  ]
• C、（0，

  1

  5

  ]
• D、[0，

  1

  5

  ]

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二项式系数的性质

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,二项式定理

分析：先写出其通项T_r+1=

C

r 5

（x²）^5-r（5-

1

2

x-3）^r=5-

r

2

C

r 5

x^10-5r，从而求出函数的周期；再由函数的零点与函数图象的关系转化为f（x）与r（x）=kx+2k有四个交点，从而求出实数k的取值范围．

解答： 解：（x²-

1

5 x3

）⁵的通项T_r+1=

C

r 5

（x²）^5-r（5-

1

2

x-3）^r=5-

r

2

C

r 5

x^10-5r；
令10-5r=0得，r=2；
则常数项为

C

2 5

×

1

5

=2，
f（x）是以2为周期的偶函数，
因为区间[-1，3]是两个周期，
所以在区间[-1，3]内函数g（x）=f（x）-kx-2k有4个零点，
可转化为f（x）与r（x）=kx+2k有四个交点，
当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意；
当k≠0时，因为函数r（x）的图象恒过点（-2，0），
则若使两函数图象有四个交点，
必有0＜r（3）≤1；
解得，0＜k≤

1

5

；
故选：C．

点评：本题考查了函数零点的判定定理及二项式定理的应用，属于基础题．