Question

17．如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A${\;}_{1}^{′}$A₁中，点B、C在线段AA′上，点B₁、C₁在线段A₁A_1′上，且有CC₁∥BB₁∥AA₁，AB=3，BC=4．连结对角线AA₁′，分别交BB₁和CC₁于点P和点Q．现将该正方形沿BB₁和CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，连结AQ．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AP⊥BC；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线A₁Q与面APQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥BC，BC⊥BB₁，从而BC⊥平面ABB₁A₁，由此能证明AP⊥BC．
（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁Q与面APQ所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵AB=3，BC=4，∴图（2）中AC=5，
从而有AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC，
又∵BC⊥BB₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁，
∴AP⊥BC．
解：（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（3，0，0），A₁（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），
$\overrightarrow{AQ}$=（-3，4，-5），$\overrightarrow{AP}$=（-3，0，3），$\overrightarrow{AQ}$=（-3，4，7），
设平面APQ的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-3x+3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AQ}=-3x+4y-5z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
设直线A₁Q与面APQ所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{AQ}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{12}{\sqrt{50}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴直线A₁Q与面APQ所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．