Question

一种放射性物质最初的质量是a克，按每年25%衰减．
（Ⅰ）求t年后，这种放射性物质的质量y的表达式；
（Ⅱ）估计约经过多少年（结果保留1个有效数字），该物质的剩留量是最初质量的

1

3

．      （参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

Answer 1

分析：（Ⅰ）元素衰减问题属于指数函数类型，直接求解可得．
（Ⅱ）设所需的年数为x，得方程，两边取对数，再用换底公式变形，代入已知数据可得x的近似值，四舍五入即可得出正确答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意，一年后，y=a（1-25%），两年后y=a（1-25%）²，从而t年后y=a（1-25%）^t；
（Ⅱ）设经过x年，该物质的剩留量是最初质量的

1

3

．
依题意得  

1

3

=0.75x，

x= lg 1 3 lg0.75 = -lg3 lg3-lg4 = lg3 2lg2-lg3 = 0.4771 2×0.301-0.4771 ≈3.8

∴估计约经过4年，该物质的剩留量是原来的

1

3

．

点评：元素衰减问题属于指数函数类型，本题重考查函数模型的选择与应用，以及指、对数式的化简计算，属于中档题．