Question

m为何值时，抛物线y²=x上总存在两点关于直线l：y=m（x-1）+1对称．

Answer 1

分析：设存在两点关于直线对称，则两点连线与对称轴垂直，根据两点的中点在对称轴上，将两点代入抛物线方程作差，得到斜率与中点的关系，据点在抛物线上，利用基本不等式求出斜率范围．

解答：解：设直线l的方程为y-1=m（x-1），弦的两个端点分别是A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入抛物线方程并作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=x₁-x₂．
∵k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

m

，
∴y₁+y₂=-m．注意到AB的中点在直线l：y-1=m（x-1）上，∴x₁+x₂=1-

2

m

．
∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=1-

2

m

．
由y₁²+y₂²＞

(y1+y2)2

2

，得1-

2

m

＞

m2

2

(m+2)(m2-2m+2)

2m

＜0
∴-2＜m＜0．
即当-2＜m＜0时，抛物线y²=x上总存在两点关于直线l：y=m（x-1）+1对称．

点评：本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，本题解题的关键是利用两点关于直线对称时，两点连线与对称轴垂直，两点中点在对称轴上．