Question

3．已知数列{a_n}满足（a_n+1-1）（a_n-1）=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n+1），a₁=2，若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）令c_n=$\sqrt{\frac{2}{{b}_{n}+1}}$，{c_n}的前n项和为T_n，用数学归纳法证明T_n≥$\sqrt{n}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（a_n+1-1）（a_n-1）=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n+1）得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=2，继而得到{b_n}是首项为b₁=$\frac{1}{2-1}$=1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由数学归纳法和分析法即可证明．

解答 解：（Ⅰ）由（a_n+1-1）（a_n-1）=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n+1）得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=2，
即b_n+1-b_n=2，
∴{b_n}是首项为b₁=$\frac{1}{2-1}$=1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=1+2（n-1）=2n-1，c_n=$\sqrt{\frac{2}{{b}_{n}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$，
①当n=1时，则有T₁=1有T₁≥$\frac{1}{\sqrt{1}}$=1成立；      
②假设当n=k时，不等式成立，即T_k≥$\sqrt{k}$成立，
则当n=k+1时，T_k+1=T_k+c_k+1=$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$≥$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$，
欲证$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$≥$\sqrt{k+1}$，
只须证$\sqrt{k}•\sqrt{k+1}$+1≥k+1，
即证$\sqrt{k（k+1）}$≥k，即证$\sqrt{k+1}$≥$\sqrt{k}$，即证1≥0，而此式成立
故当n=k+1时，不等式也成立．
故有T_n≥$\sqrt{n}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推关系的应用、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．