Question

3．设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，BB₁的中点．如图，以D为坐标原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D_1}}$为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．
（I）求$\overrightarrow{{A_1}E}•\overrightarrow{{D_1}F}$；
（II）若点M，N分别是线段A₁E与线段D₁F上的点，问是否存在直线MN，使得MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用空间直角坐标系中点及向量坐标表示，计算$\overrightarrow{{A_1}E}$•$\overrightarrow{{D_1}F}$即可；
（Ⅱ）存在唯一直线MN，使MN⊥平面ABCD，利用平面ABCD的法向量求出点M，N的坐标．

解答 解：（Ⅰ）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为
A₁（2，0，2），E（1，2，0），D₁（0，0，2），F（2，2，1），
$\overrightarrow{{A_1}E}$=（-1，2，-2），$\overrightarrow{{D_1}F}$=（2，2，-1），…（2分）
所以$\overrightarrow{{A_1}E}•\overrightarrow{{D_1}F}=-2+4+2=4$；…（4分）
（Ⅱ）存在唯一直线MN，使MN⊥平面ABCD；
设M（x₁，y₁，z₁），N（x₂，y₂，z₂），
且$\overrightarrow{{A_1}M}=λ\overrightarrow{{A_1}E}$，$\overrightarrow{{D_1}N}=t\overrightarrow{{D_1}F}$；
则（x₁-2，y₁，z₁-2）=λ（-1，2，-2），
（x₂，y₂，z₂-2）=t（2，2，-1），
所以M（2-λ，2λ，2-2λ），N（2t，2t，2-t），
故$\overrightarrow{MN}=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t）$，…（8分）
若MN⊥平面ABCD，
则$\overrightarrow{MN}$与平面ABCD的法向量$\overrightarrow n$=（0，0，1）平行，
所以$\left\{\begin{array}{l}2t-2+λ=0\\ 2t-2λ=0\end{array}\right.$，
解得$λ=t=\frac{2}{3}$；
所以点M，N的坐标分别是（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．…（12分）

点评 本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是综合性题目．