Question

4．设函数f（x）=mx²-mx-1（m≠0），若对于x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由题意得m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]恒成立，令g（x）=m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]，利用函数的单调性质能求出m的取值范围．

解答 解：要x∈[1，3]，f（x）＜-m+5恒成立，
即m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=m（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$m-6＜0，x∈[1，3]，
当 m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）_max=g（3）=7m-6＜0，
解得m＜$\frac{6}{7}$．所以0＜m＜$\frac{6}{7}$．
∴m的取值范围是（0，$\frac{6}{7}$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想及函数性质的合理运用．