Question

17．如图所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，已知DF=$\sqrt{2}$，AF=$\sqrt{5}$，EC=2$\sqrt{5}$，则AE=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用角平分线的性质、三角形相似即可得出．

解答 解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴$\frac{AF}{FD}$=$\frac{AB}{DB}$，$\frac{CE}{EA}$=$\frac{BC}{BA}$．
在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于D，
∴△ABD∽△CBA，
∴$\frac{AB}{DB}$=$\frac{BC}{BA}$．
∴$\frac{AF}{FD}$=$\frac{CE}{EA}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}×2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了角平分线的性质、三角形相似的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．