Question

设n∈N⁺，圆C_n：x²+y²=R（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=的交点为N（x_n，y_n），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（1）用x_n表示R_n和a_n；
（2）若数列{x_n}满足：x_n+1=4x_n+3，x₁=3．
①求常数P的值使数列{a_n+1-p•a_n}成等比数列；
②比较a_n与2•3ⁿ的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据y=与圆C_n交于点N，可得，确定直线MN的方程，利用点N（x_n，y_n）在直线MN上，即可用x_n表示R_n和a_n；
（2）由x_n+1=4x_n+3得{x_n+1}是以4为首项，4为公比的等比数列，由此可求，①利用数列{a_n+1-p•a_n}成等比数列，构建等式，即可求得结论；
②由①知：，构建函数f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），证明函数是增函数，即可得到结论．
解答：解：（1）∵y=与圆C_n交于点N，∴=
∴，…（2分）
由题可知，点M的坐标为（0，R_n），从而直线MN的方程为，…（3分）
由点N（x_n，y_n）在直线MN上得：，…（4分）
将，代入化简得：．…（6分）
（2）由x_n+1=4x_n+3得：1+x_n+1=4（x_n+1），…（7分）
又x₁=3，∴1+x₁=4，故{x_n+1}是以4为首项，4为公比的等比数列
∴x_n+1=4•4^n-1=4ⁿ，∴       …（8分）
①a_n+1-p•a_n=4ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-p（4ⁿ+2ⁿ）=（4-p）•4ⁿ+（2-p）•2ⁿ，a_n+2-p•a_n+1=（16-4p）•4ⁿ+（4-2p）•2ⁿ
令a_n+2-p•a_n+1=q（a_n+1-p•a_n）得：（16-4p）•4ⁿ+（4-2p）•2ⁿ=q[（4-p）•4ⁿ+（2-p）•2ⁿ]…（9分）
∴，∴，解得：或
故当p=2时，数列{a_n+1-p•a_n}成公比为4的等比数列；当p=4时，数列{a_n+1-p•a_n}成公比为2的等比数列． …（11分）
②由①知：，当n=1时，=3•2¹；
当n≥2时，．…（12分）
事实上，令f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），则f′（x）=n[（x+1）^n-1-x^n-1]＞0，
故f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0）是增函数，
∴f（3）＞f（2），即：4ⁿ-3ⁿ＞3ⁿ-2ⁿ，即．…（14分）
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查大小比较，确定数列的通项是关键，属于中档题．