题目内容
已知平面区域
被圆C及其内部所覆盖．
（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．
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（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．
（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，
由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|=
=
，
∴圆C的方程是（x-2）2+（y-1）2=5．
（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是
r=
，
即
=
，解之得，b=-1±
．
∴直线l的方程是：y=x-1±
．
由于覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，∴圆心是Rt△OPQ的斜边PQ的中点C（2，1），半径r=|OC|=
| 22+12 |
| 5 |
∴圆C的方程是（x-2）2+（y-1）2=5．
（2）设直线l的方程是：y=x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
即
| |2-1+b| | ||
|
| ||
| 2 |
| 5 |
∴直线l的方程是：y=x-1±
| 5 |
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