Question

11．已知函数f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$，
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用单调函数的定义证明函数的单调性设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＞0，得到f（x）在（0，+∞）单调递增；
（2）当x≥0时利用分式的性质求值域因为0≤x＜x+2，得到$\frac{x}{x+2}$＜1，即0≤f（x）＜1．

解答 解：（1）设0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）当x≥0时，f（x）=$\frac{x}{x+2}$＞0，
又$\frac{x}{x+2}$=1-$\frac{2}{x+2}$＜1，即0≤f（x）＜1；
当x＜0（x≠-2）时，f（x）=$\frac{-x}{x+2}$=y，
∴x=$\frac{-2y}{y+1}$，由x＜0，得y＜-1或y＞0，
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪[0，+∞）．

点评 本题主要考查利用单调函数的定义证明函数的单调性，利用反函数与导数求函数的值域，解决此类问题的方法是熟悉单调函数的定义与求值域的方法．