Question

7．若数列{a_n}满足$\frac{a_1}{1}$+$\frac{a_2}{3}$+…+$\frac{a_n}{2n-1}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{{{4^{n+1}}}}{5^n}$，且对任意的n∈N^*，存在m∈N^*，使得不等式a_n≤a_m恒成立，则m的值是5．

Answer 1

分析 通过作差可知数列{a_n}的通项公式，计算出数列的前几项即可判断出数列的变化规律，进而即得结论．

解答 解：∵$\frac{a_1}{1}$+$\frac{a_2}{3}$+…+$\frac{a_n}{2n-1}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{{{4^{n+1}}}}{5^n}$，
∴当n≥2时，$\frac{a_1}{1}$+$\frac{a_2}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{2n-3}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{{4}^{n}}{{5}^{n-1}}$，
两式相减得：$\frac{a_n}{2n-1}$=$\frac{{4}^{n}}{{5}^{n-1}}$-$\frac{{{4^{n+1}}}}{5^n}$=$\frac{{4}^{n}}{{5}^{n}}$，
∴a_n=（2n-1）•$（\frac{4}{5}）^{n}$（n≥2），
又∵$\frac{a_1}{1}$=$\frac{9}{4}$-$\frac{16}{5}$=-$\frac{19}{20}$不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{19}{20}，}&{n=1}\\{（2n-1）•（{\frac{4}{5}）}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∵a₂=$\frac{48}{25}$，a₃=$\frac{64}{25}$，a₄=$\frac{1792}{625}$，a₅=$\frac{9216}{3125}$，a₆=$\frac{45056}{15625}$，
且易知从第六项开始数列递减，
∴m=5，
故答案为：5．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．