题目内容
设0＜a＜1，函数f（x）=logax-
+3，求f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性．
| 3 |
| x |
考点：利用导数研究函数的单调性,函数的定义域及其求法,函数单调性的判断与证明
专题：导数的概念及应用
分析：根据函数f（x）的解析式，求出f（x）的定义域；
对函数f（x）求导，利用f′（x）＞0，判断f（x）是增函数，f′（x）＜0，判断f（x）是减函数．
对函数f（x）求导，利用f′（x）＞0，判断f（x）是增函数，f′（x）＜0，判断f（x）是减函数．
解答：
解：∵函数f（x）=logax-
+3，
∴x＞0，
∴f（x）的定义域是（0，+∞）；
又∵函数f（x）=logax-
+3，
∴f′（x）=
+
=
（
+
），
令f′（x）=0，得
+
=0，
解得x=-3lna，
∴当x∈（0，-3lna）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，
x∈（-3lna，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数．
| 3 |
| x |
∴x＞0，
∴f（x）的定义域是（0，+∞）；
又∵函数f（x）=logax-
| 3 |
| x |
∴f′（x）=
| 1 |
| xlna |
| 3 |
| x2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| lna |
| 3 |
| x |
令f′（x）=0，得
| 1 |
| lna |
| 3 |
| x |
解得x=-3lna，
∴当x∈（0，-3lna）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，
x∈（-3lna，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数．
点评：本题考查了根据函数的解析式求函数的定义域以及利用导数判断函数的单调性问题，是基础题目．
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